Seminar Elliptische Kurven (WS 2020/21)
Dozent: Prof. Dr. Böckle, Dr. Judith Ludwig
Beginn: 03.11.20
Zeit: Dienstags 14-16 Uhr
Format: Online, via Webex.
Zur besseren Organisation bitten wir alle Interessenten sich bald möglichst im Müsli in die Sammelgruppe des Seminars einzutragen oder sich per E-Mail an Dr. Ludwig zu wenden. Ende Juli wird es online eine Vorbesprechung geben, die Koordinaten werden über die Müsli-Gruppe bekannt gegeben.
Update (5.10.20): Falls Sie Interesse an einem Vortrag haben, bitte per Email (bei Dr. Ludwig) melden und im Müsli eintragen. Es gibt noch freie Plätze.
Thema: Das Seminar bietet eine Einführung in die Theorie der elliptischen Kurven.
Elliptische Kurven sind Kurven (1-dimensionale algebraisch-geometrische Objekte), die durch eine kubische Gleichung der Form y^2=x^3+ax+b bestimmt sind, a und b können hier aus unterschiedlichen Zahlbereichen stammen, zum Beispiel aus den ganzen Zahlen.
Das Studium der elliptischen Kurven ist interessant, weil es Geometrie, Algebra und Arithmetik verbinden. Wieso?
Nun, nach Definition sind elliptische Kurven geometrische Objekte. Die komplexen Lösungen haben die Form eines Doughnuts, welche sich mittels komplex-analytischer Geometries studieren lassen. Werkzeuge aus der algebraischen Geometrie helfen beim Verständnis der Strukturen von elliptischen Kurven über allgemeinen Körpern. Algebra taucht durch folgende zunächst überraschende Eigenschaft auf: Man kann auf elliptischen Kurven Punkte addieren! Es stellt sich sogar heraus, dass die Menge der Lösungen (x,y) einer elliptischen Kurve y^2=x^3+ax+b eine abelsche Gruppe bildet (a und b seien hier Elemente eines Körpers K, und x und y ebenfalls, und um wirklich eine Gruppe zu bekommen man muss noch einen Punkt hinzunehmen, den so genannten Punkt "an unendlich“). Diese Gruppenstruktur macht elliptische Kurven so interessant. Wenn man sich für Lösungen in Zahlkörpern interessiert, ist man im Bereich der Arithmetik.
Im Seminar werden wir uns anhand des Buches von Silverman, die Grundlagen der Theorie der elliptischen Kurven erarbeiten.
Elliptische Kurven sind ein aktives Forschungsgebiet der reinen Mathematik insbesondere der Zahlentheorie und der Arithmetik.
Zwei Gründe, weshalb elliptische Kurven in der Mathematik und auch außerhalb der Mathematik viel Aufmerksamkeit erfahren, sind diese:
1. Sie wurden im Beweis von Fermat’s letztem Satz benutzt (Stichwort: Taniyama-Shimura-Weil Vermutung).
2. Elliptische Kurven über endlichen Körpern werden in der Kryptographie zur Erstellung von Kryptosystemen benutzt.
Erforderliche Vorkenntnisse: Inhalt der Vorlesung Algebra I. Weitere Vorkenntnisse, wie Algebra II oder Zahlentheorie sind insbesondere für die späteren Vorträge hilfreich.
Literatur:
- [Si] Silverman, Joseph H., The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer Graduate Texts in Mathematics (106), second edition, Springer, 2010.